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【备考】全国名校数学试题分类汇编(12月 第三期)e单元 不等式(含解析)

【备考 2015】2015 届全国名校数学试题分类汇编(12 月 第三期)E 单元 不等式(含解析)
目录 E 单元 不等式 错误!未定义书签。 E1 不等式的概念与性质 - 1 E2 绝对值不等式的解法 - 3 E3 一元二次不等式的解法 - 4 E4 简单的一元高次不等式的解法 - 5 E5 简单的线性规划问题 - 6 -

ab ?
E6 基本不等式

a?b 2

- 12 -

E7 不等式的证明方法 - 18 E8 不等式的综合应用 - 20 E9 单元综合 - 23 -

E1 不等式的概念与性质 【数学理卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411 ) word 版】 3 .设

a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 (

)

A.

a?b

2

1 1 ? a b B.

1 1 ? a b C.

D. a ? 2b
2

【知识点】不等式的性质;函数的性质. E1 【答案】 【解析】A 解析:因为:

?1 ? b ? 1 ? b2 ??0,1? b ? ? ?1,1?
时,

,而 a>1,所以 a ? b 故选 A.
2

【思路点拨】由函数的性质得:当

b2 ??0,1?

,由此得选项 A 正确.

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】9.若直线 y ? kx ? 1 与
2 2 圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 M , N 关于直线 x ? y ? 0 对称,动点 P ?a, b ? 在

不等式组

?kx ? y ? 2 ? 0 ? ?kx ? my ? 0 ? ?y ? 0

表示的平面区域内部及边界上运动,则

w? b?2 a ? 1 的取值范围是(



A. [2,??) B. (??,?2] C. [?2,2] D. (??,?2] ? [2,??) 【知识点】简单线性规划的应用不等式的解法及应用直线与圆 E1 E4 H4

【答案】 【解析】D 解析:由题意,得直线 y ? kx ? 1 垂直于直线 x ? y ? 0 ,? k ? ?1 ,即直

线为 y ? ? x ? 1 ,又∵圆心

1 1 C ( ? k, ? m) 2 2 在直线 x ? y ? 0 上,? m ? k ? ?1

因此,题中不等式组为:

?? x ? y ? 2 ? 0 ? ?? x ? y ? 0 ?y ? 0 ?

作出不等式组表示的平面区域,如图所示,

(, 1 2),( P a,b) 设Q 为区域内的动点,可得
运动点 P,可得当 P 与原点重合时,

w? b?2 a ? 1 表示直线 PQ 的斜率

kPQ ? 2

为斜率在正数范围内的最小值;

A 2, 0) 重 合 时 , kPQ ? ?2 为 斜 率 在 负 数 范 围 内 的 最 大 值 得 当 P与(
w? ?kPQ ? 2或kPQ ? ?2, a ? 1 的取值范围是 ( ??,?2] ? [ 2,??) ,故选择 D. b?2

【 思 路 点 拨 】 根 据 已 知 条 件 结 合 圆 的 性 质 求 出 k, m 的 值 , 再 根 据 条 件 画 出 如 图 可 行 域.
w? b?2 (, 1 2)与( P a,b) a ? 1 表示 Q 连线的斜率,利用斜率与倾斜角的关系求 PQ 斜率的最

值,即可得到 ω 的取值范围.

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】4. 设

a , b 是实数,则“ a ? b ? 1 ”是“

a?

1 1 ?b? a b ”的()

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【知识点】充分、必要条件不等式性质 A2 E1

1 ? 1 ? ? a ? b ?? ab ? 1? a ? ??b ? ? ? a ? b? ab 【答案】 【解析】 A 解析:因为 ,所以若 a ? b ? 1 ,显然 1 ? 1 ? ? a ? b ?? ab ? 1? 1 2 a ? ? ?b ? ? ? ?0 a ? ,b ? a ? b? ab 2 3 时显然不等式 ,则充分性成立,当

a?

1 1 ?b? a b 成立,但 a ? b ? 1 不成立,所以必要性不成立,则选 A.

【思路点拨】判断充分必要条件,应先分清命题的条件与结论,若从条件能推出结论,则充 分性满足,若从结论能推出条件,则必要性满足.

E2 绝对值不等式的解法 【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】19.(本小题满分 12 分) 设函数

f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 3

(1)求函数 y ? f ( x) 的最小值;

f ( x) ? ax ?
(2)若

a 7 ? 2 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【知识点】含绝对值不等式的解法函数的图像 E2

【答案】 【解析】(1)

f ( x) min ? ?

7 2 ;(2) ?1 ? a ? 1 .

1 ? ? x ? 4, ( x ? ? ) ? 2 ? 1 ? f ( x) ? ?3 x ? 2, (? ? x ? 3) 2 ? ? x ? 4, ( x ? 3) 1 (??, ? ) ? ? 2 上单调递减,在 解析: (Ⅰ)由题意得 ,所以 f ( x) 在
1 1 (? , ??) x?? 2 2 时 , y ? f ( x) 取 得 最 小 值 , 此 时 上 单 调 递 增 , 所 以 f ( x) min ? ? 7 2 .……………………6 分

(注:画出函数 f ( x) 的图像,得到 f ( x) 的最小值也可以. )

g ( x) ? ax ?
(Ⅱ)由

a 7 1 7 ? (? , ? ) 2 2 的图像恒过点 2 2 及 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 可 知

?1 ? a ? 1 .…………………12 分

【思路点拨】利用零点分段法求得函数 y ? f ( x) 的解析式,根据函数的单调性求得最小值,

g( x) ? ax ?
令 数

a 7 1 7 a 7 ? (? , ? ) f ( x) ? ax ? ? 2 2 ,可得图像恒过点 2 2 ,要使得 2 2 恒成立,即函

g ? x?

的图像恒在

f ? x?

的下方,由图像可求得.

E3 一元二次不等式的解法 【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】13. (原创) 若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,且不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立,则实
2

数 a 的取值范围是 【知识点】基本不等式;不等式的解法. E3 E6

? ??, ?3?
【答案】 【解析】

?5 ? , ?? ? ? ?2 ? 解析:∵正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,
2

即 x+2y=4xy-4,∴不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立, 即 (4xy ? 4)a ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0 恒成立,变形得 2 xy(2a ? 1) ? 4a ? 2a ? 34 恒成立,即
2 2 2

2a 2 ? a ? 17 xy ? 2a 2 ? 1 恒成立.
∵x>0,y>0,∴

x ? 2 y ? 2 2xy ,∴4xy=x+2y+4 ? 4 ? 2 2 xy
xy ? ?




2

?

xy

?

2

? 2 xy ? 2 ? 0 ? xy ? 2

2 2 (舍去),可得 xy ? 2 ,

xy ?
要使

2a 2 ? a ? 17 2a 2 ? a ? 17 2 ? 2a 2 ? 1 恒成立,只需 2a 2 ? 1 恒成立,

2a 2 ? a ? 15 ? 0 ? a ? ?3或a ?
化简得

5 2.

【思路点拨】不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立,即
2

xy ?

2a 2 ? a ? 17 2a 2 ? 1 恒成立,

由基本不等式结合不等式的解法得 xy ? 2 ,故只需 等式可得结论.

2?

2a 2 ? a ? 17 2a 2 ? 1 恒成立,解关于 a 的不

E4 简单的一元高次不等式的解法 【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】9.若直线 y ? kx ? 1 与
2 2 圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 M , N 关于直线 x ? y ? 0 对称,动点 P ?a, b ? 在

不等式组

?kx ? y ? 2 ? 0 ? ?kx ? my ? 0 ? ?y ? 0

表示的平面区域内部及边界上运动,则

w? b?2 a ? 1 的取值范围是(



A. [2,??) B. (??,?2] C. [?2,2] D. (??,?2] ? [2,??) 【知识点】简单线性规划的应用不等式的解法及应用直线与圆 E1 E4 H4 【答案】 【解析】D 解析:由题意,得直线 y ? kx ? 1 垂直于直线 x ? y ? 0 ,? k ? ?1 ,即直

1 1 C ( ? k, ? m) 2 2 在直线 x ? y ? 0 上,? m ? k ? ?1 线为 y ? ? x ? 1 ,又∵圆心

因此,题中不等式组为:

?? x ? y ? 2 ? 0 ? ?? x ? y ? 0 ?y ? 0 ?

作出不等式组表示的平面区域,如图所示,

(, 1 2),( P a,b) 设Q 为区域内的动点,可得
运动点 P,可得当 P 与原点重合时,

w? b?2 a ? 1 表示直线 PQ 的斜率

kPQ ? 2

为斜率在正数范围内的最小值;

A 2, 0) 重 合 时 , kPQ ? ?2 为 斜 率 在 负 数 范 围 内 的 最 大 值 得 当 P与(
w? ?kPQ ? 2或kPQ ? ?2, a ? 1 的取值范围是 ( ??,?2] ? [ 2,??) ,故选择 D. b?2

【 思 路 点 拨 】 根 据 已 知 条 件 结 合 圆 的 性 质 求 出 k, m 的 值 , 再 根 据 条 件 画 出 如 图 可 行 域.
w? b?2 (, 1 2)与( P a,b) a ? 1 表示 Q 连线的斜率,利用斜率与倾斜角的关系求 PQ 斜率的最

值,即可得到 ω 的取值范围.

E5 简单的线性规划问题 【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】9、 (原创)在

? x?0 ? y?0 ? ? ? x? y? s ?2 x ? y ? 4 约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值的变化范围是
( ) A.[6,15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8] 【知识点】线性规划问题. E5 【答案】 【解析】D 解析:画出可行域如图四边形 OABC 内部(包括边界),易得点 B 是最优解, 而 3 ? s ? 5 时,当 B 在线段 BD 上移动,又 B(1,2),D(0,4),代入 z ? 3 x ? 2 y 得 目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值的变化范围是[7,8] ,故选 D.

【思路点拨】画出可行域,找出使目标函数 z ? 3 x ? 2 y 取得最大值的最优解的点的集合.

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】

8.若

满足条件

,当且仅当

时,

取最小值,则实数

的取值范围是()

? 3 2? ? 2 3? ?? , ? ?? , ? 4 3 ? ? A. B. ? 3 4 ?
【知识点】简单线性规划 E5

? 2 3? ?? , ? C. ? 3 5 ?

? 3 3? ? , ? D. ? 4 5 ?

【答案】 【解析】C 解析:条件

对应的平面区域如图:

因为目标函数 z ? ax ? y

(3, 3) (其中 a>0 ) ,仅在 处取得最大值,令 z ? 0 得 ax ? y ? 0 ,

所以直线 ax ? y ? 0 的极限位置应如图所示,

? ? ? ? ? ? 故其斜率 k ? a 需满足 ?

a<

3 5 2 3

a>-

2 3 ? - <a< 3 5

? 2 3? ?? , ? .故答案为: ? 3 5 ? .所以选 C.

【思路点拨】先画出可行域,根据题中条件目标函数 z ? ax ? y

(3, 3) (其中 a>0 ) ,在 处

取得最大值得到目标函数所在位置,求出其斜率满足的条件即可求出 a 的取值范围

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四

中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】14.已知点 ( x, y ) 满足不等式组 其中 0 ? a ? 3 ,则 z ? ? x ? 2 y 的最小值为__________. 【知识点】简单的线性规划.E5

?x ? 1 ? ?y ? a ?x ? y ? 4 ?



【答案】 【解析】-7 解析:由题意画出不等式组

?x ? 1 ? ?y ? a ?x ? y ? 4 ?

表示的平面区域如下图:

易知当直线过 B(1,3)时, z ? ? x ? 2 y 有最小值,最小值为 z=-1-6=-7,故答案为-7.

【思路点拨】先画出不等式组

?x ? 1 ? ?y ? a ?x ? y ? 4 ?

表示的平面区域,再结合图像求出最小值即可。

【数学理卷·2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试(201412) 】7.已知实数 x , y 满足:

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 ? x ? y ? 1 ? 0 z ? 2 x ? 2 y ?1 ?
,

,则 z 的取值范围是( )

5 [ , 5] A. 3 B. [0,5]

5 [ , 5) [0,5) C. D. 3

【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案】C

【解析】由

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 ?x ? y ?1 ? 0 ?

3 平面区域可知在(2, 2 )最小值为 0,在(2,-1)取最大值。

【思路点拨】根据平面区域的端点得到结果。

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】9.(原创)设

实数 x 和 y 满足约束条件 则实数 a 的取值范围是(

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? ?x ? 3 y ? 7 ? 0 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?


,且 z ? ax ? y 取得最小值的最优解仅为点 A?1,2 ? ,

1? ? ? ? ?, ? ? 3? A. ?

1? ? ? ? ?, ? ? 3? B. ?

?1 ? ? ?? ? , ? C. ? 3

?1 ? ,?? ? ? ? D. ? 3

【知识点】线性规划的应用. E5 【答案】 【解析】 C 解析: A 为直线 x-2y+3=0 与 x+3y-7=0 的交点, 设直线 x+3y-7=0 与 2x+y-9=0 的交点 B,直线 2x+y-9=0 与 x-2y+3=0 的交点 C,则当 a ? 0 时, z ? ax ? y 取得最小值的最 优 解 仅 为 点 B ; 当 a>0 时 , 要 使 z ? ax ? y 取 得 最 小 值 的最 优 解 仅 为 点 A?1,2 ? , 需 使

-a<

k AB ? ?

1 1 3 ,解得 a> 3 .故选 C.

【思路点拨】画出可行域,讨论 a 值,得目标函数取得最小值的条件.

【数学文卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】

14.若不等式组

?x ? 0 ? ?x ? 3y ? 4 ?3 x ? y ? 4 ?

所表示的平面区域被直线

y ? kx ?

4 3 分为面积相等的两部分,则 k

的值是_________. 【知识点】简单线性规划的应用 E5

? 4? 7 4 A ? 0, ? y ? kx ? 3 过点 ? 3 ? 作出可行域,由图可知,当直线 【答案】 【解析】 3 解析:易知直线
经过线段 BC 的中点 D 时,平分可行域△ABC 的面积,由解得点

C ? 0, 4? B ?1,1?

?1 5? 7 D? , ? k ? k AD ? 3. 从而 ? 2 2 ? ,于是

?x ? 0 ? ?x ? 3y ? 4 4 y ? kx ? ?3 x ? y ? 4 ? 3过 【思路点拨】如图作出不等式组 对应的区域,如图的阴影部分,直线

? 4? A ? 0, ? 定点 ? 3 ? ,当其过对边中点 D 时,直线就将阴影部分一分为二,故问题转化为求中点 D
的坐标,于是先求出两点 B, C 的坐标,再由中点坐标公式求 D 的坐标,再由斜率的两点式求 斜率即可.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】13.设 x, y 满足约束
?y ? x ?1 ? ? y ? 2x ?1 ? x ? 0, y ? 0 ?

条件

,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为_____.

【知识点】简单的线性规划问题. E5 【答案】 【解析】8 解析:由图像得知,z=x+2y 过点(2,3)时达到最大,最大值为 8. 【思路点拨】画出可行域,平移目标函数为零的直线 x+2y=0,得使目标函数取得最大值的最 优解为(2,3) ,代回目标函数即可.

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】7. 设

实数 x, y 满足

? y ? ?2 x, ? ? y ? x, ? y ? x ? 4, ?

则 z ? y ? 4 | x | 的取值范围是()

A. ?? 8,?6? B. [?8,4] C. [?8,0] D. ?? 6,0? 【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】 【解析】B 解析:满足不等式组的可行域如下图所示,由题意可知 A(2,2) ,B(-4, 8) .O(0,0) ,由直线 x+y=4 与 y 轴交点坐标为(0,4),当 x≥0 时,z=y-4x,显然经过点(0,4) 时最大为 4,经过点 A 时最小为-6,当 x<0 时,z=y+4x,显然动直线经过点(0,4)时目标函数

得最大值 4,当动直线经过点 B 时目标函数得最小值为-8,所以 z ? y ? 4 | x | 的取值范围是

[?8,4] ,则选 B.

. 【思路点拨】一般遇到由不等式组表示的区域求目标函数的最值常用数形结合的方法解答, 本题应注意对绝对值讨论求最值.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河北 省 唐 山 一 中高 三 上 学期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 9. 在 约 束 条件
? x ≤1 ? 2 ?x ? y ? m ≥ 0 ? x ? y ? 1≥ 0 ?

下,若目标函数 z ? ?2 x ? y 的最大值不超过 4,则实数 m 的取值范围()

A. (? 3 , 3 ) B. [0, 3 ] C. [? 3 ,0] D. [? 3 , 3 ] 【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】 【解析】D 解析:有线性约束条件对应的可行域(如图阴影) :

? 1 ? m2 x ? ? ? 2 ? 2 ?x ? y ?1 ? 0 ? y ? 1? m ? x ? y ? m2 ? 0 可得 ? ? 2 平移直线 y ? 2 x 变形目标函数可得 y ? 2 x ? Z ,解方程组 ?
1 ? m2 1 ? m2 ?2. ? ?4 2 2 可知当直线经过点 A 目标函数取最大值,所以 ,解得 ? 3 ? m ? 3 ,
故选择 D. 【思路点拨】根据已知作出可行域,平移直线 y ? 2 x 可知当直线经过点 A 时,目标函数取最 大值,代入解不等式即可求得 m 的范围.

ab ?
E6 基本不等式

a?b 2

【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】13. (原创) 若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,且不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立,则实
2

数 a 的取值范围是 【知识点】基本不等式;不等式的解法. E3 E6

? ??, ?3?
【答案】 【解析】

?5 ? , ?? ? ? ?2 ? 解析:∵正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,
2

即 x+2y=4xy-4,∴不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立, 即 (4xy ? 4)a ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0 恒成立,变形得 2 xy(2a ? 1) ? 4a ? 2a ? 34 恒成立,即
2 2 2

xy ?

2a 2 ? a ? 17 2a 2 ? 1 恒成立.

∵x>0,y>0,∴

x ? 2 y ? 2 2xy ,∴4xy=x+2y+4 ? 4 ? 2 2 xy
xy ? ?




2

?

xy

?

2

? 2 xy ? 2 ? 0 ? xy ? 2

2 2 (舍去),可得 xy ? 2 ,

xy ?
要使

2a 2 ? a ? 17 2a 2 ? a ? 17 2 ? 2a 2 ? 1 恒成立,只需 2a 2 ? 1 恒成立,
5 2.

2a 2 ? a ? 15 ? 0 ? a ? ?3或a ?
化简得

【思路点拨】不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立,即
2

xy ?

2a 2 ? a ? 17 2a 2 ? 1 恒成立,

由基本不等式结合不等式的解法得 xy ? 2 ,故只需 等式可得结论.

2?

2a 2 ? a ? 17 2a 2 ? 1 恒成立,解关于 a 的不

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】

x ? 2y 13.若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 xy 的最小值为.
【知识点】基本不等式 E6

?3 ? 2 x ? y . 【答案】 【解析】 3 解析:∵正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0,

?

1 2x 2 y x ? 2y 1 1 2 1 2x 2 y ? )?3 ? ? 2 x ? y ? ( ? ) ? (5 ? ? ) ? (5 ? 2 3 y x xy 3 y x 3 y x ,

x ? 2y 当且仅当 x ? y ? 1 时取等号.则 xy 的最小值为 3.
【思路点拨】利用“乘 1 法”基本不等式的性质即可得出.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】 17.若
2 2 2 2 实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,则 3ab ? 3bc ? 2c 的最大值为____▲____.

【知识点】基本不等式 E6 【 答 案 】









3







3ab ? 3bc ? 2c 2 ? 3

?

? 2 ? ? 3 ?? 6 ? 2a ? b?? ? c? ? 2c 2 ? 2 b? ? ? 3? ? ? 3 ? ? ? 6 ?? ?

?

3? 3 ?1 ? ? ? 2a 2 ? b ? ? 2? b ? c 2? 2 ? 2?2 3

? 2 3 2 2 ? ? 2c ? 3 ? a 2 ? b ? c ?

??3
2

2

2

【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答.

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中 ) 高 三 上 学 期 第 二 次 联 考 ( 201412 ) word 版 】 22 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 设 函 数

f ( x) ? x ?

4 ( x ? 1) x ?1 .

(1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)若 ?x ? (1,??) ,使得不等式

2a ? 1 ? a ? 1 ? f ( x )

成立,求实数 a 的取值范围.

【知识点】基本不等式;不等式恒成立问题。E6

a??
【答案】 【解析】 (1)5; (2) 解析: (1)? x ? 1 ,

5 5 a? 3或 3

? f ( x) ? x ?

4 4 4 ? x ?1? ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ?1 ? 5 x ?1 x ?1 x ?1 ,
x ?1 ? 4 x ?1













x?3





f ( x)











5. ………………………………………….…5 分 (2)依题意, 分

2a ? 1 ? a ? 1 ? f ( x) min

, 即

2a ? 1 ? a ? 1 ? 5

, 于是………………………….6

1 1 ? ? ? ? ?1 ? a ? a? a ? ?1 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ( 2 a ? 1 ) ? ( a ? 1 ) ? 5 ? ( 2 a ? 1 ) ? ( a ? 1 ) ? 5 2 a ? 1 ? ( a ? 1) ? 5 ? 或? 或?
a??
解 得

5 3



a?

5 3 .…………………………………………………………………………………………………

……..10 分

f ( x) = x - 1 +
【思路点拨】 (1)把原不等式变形为 绝对值变成分段函数,得到不等式组即可。

4 +1 x - 1 再结合基本不等式即可;(2)去掉

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中) 高三上学期第二次联考 (201412) word 版】 17. (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC

? 2b ? c cos C ? a cos A . 的三个内角 A, B, C 的对边,

(1)求角 A 的大小;

(2)若 ?ABC 的面积 S ?

3 ,求 ?ABC 周长的最小值.
C8 E6

【知识点】正弦定理;余弦定理;基本不等式求最值.

? 2b ? c cos C 2? ? a cos A ,由 【答案】 【解析】 (1) 3 ; (2) 4 ? 2 3 解析: (1) ?ABC 中,∵ ? 2 sin B ? sin C cos C ? sin A cos A ,………………………….2 分 正弦定理,得:


? 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C





? 2 s i nB c o sA ? s i n ( A ? C ) ? s i nB ………………………………4 分
1 2? ? cos A ? ? , A ? 2 3 …………………………………………….6 分

?A?
(2)

1 2? S ? bc sin A ? 3 2 3 ,且 ,? bc ? 4 …………………8 分
2 2 2 2 2

由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? 3bc ? 12

? a ? 2 3 ,又 b ? c ? 2 bc ? 4 ,………………………………………10 分
当且仅当 b ? c ? 2 时, a 的最小值为 2 3 , b ? c 的最小值为 4 , 所以周长 a ? b ? c 的最小值为 4 ? 2 3 .………………………………….12 分 【思路点拨】 (1)将正弦定理代入已知等式,用两角和与差的三角函数及诱导公式得结果; (2)由(1)的结论和 ?ABC 的面积 S ?

3 得, bc ? 4 ,在由余弦定理得:

a2 ? b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? 3bc ? 12 ? a ? 2 3 ,又 b ? c ? 2 bc ? 4 ,这两个不等式中
等号成立的条件都是 b=c=2,所以得周长 a ? b ? c 的最小值为 4 ? 2 3 .

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】10.已知正数 满足 则 c 的取值范围是( )

? 4? ? 0, ? A. ? 3 ?
【知识点】基本不等式.

? 1 4? ? , ? B. ? 2 3 ?
E6

? 1 4? ? ,? C. ? 3 3 ?

? 4? ?1, ? D. ? 3 ?
2

【答案】 【解析】D 解析:∵正数 a,b 满足 a+b=ab,∴ab ? 2 ab ? ( ab ) ? 2 ab ? 0

? ab ? 2 ? ab ? 4 ,由 a ? b ? ab, a ? b ? c ? abc,
c?


ab ab ? 1 ? 1 1 1 1 ? ? 1? ab ? 4,? ab ? 1 ? 3,? 0 ? ? ab ? 1 ab ? 1 ab ? 1 , ab ? 1 3 , 1 4 ? ab ? 1 3 ,故选 D. c ? 1? 1 ab ? 1 即可得出

?1 ? 1 ?

【思路点拨】由正数 a,b 满足 a+b=ab 得 ab ? 4 ,由 a+b+c=abc 变形成 结论.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】20、(本小题满分 13 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速 度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数.

v ? x? (1) 当 0 ? x ? 200 时,求函数 的表达式;
(2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时)

f ? x? ? x ? v ? x?

可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时)

【知识点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用.B10 E6

0 ? x ? 20 ? 60, ? ?1 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200, v ? x? ? 【答案】 【解析】(1) = ?3 (2)即当车流密度为 100 辆/千米时,
车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时

v ? x ? ? 60 v ? x ? ? ax ? b 解析:(1) 由题意:当 0 ? x ? 20 时, ;当 20 ? x ? 200 时,设 ,显
1 ? a?? ? ? 3 ? ?200a ? b ? 0 ?b ? 200 , , ? v ? x ? ? ax ? b ? 20, 200? ? 20 a ? b ? 60 3 然 在 是减函数,由已知得 ? ,解得 ?

0 ? x ? 20 ? 60, ? ?1 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200, v ? x? v ? x? ? 3 ? 故函数 的表达式为 = ……………………………6 分

0 ? x ? 20 ? 60 x, ? f ? x ? ? ?1 x ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200, ? ?3 (2)依题意并由(Ⅰ)可得 …………………8 分

f ? x? 当 0 ? x ? 20 时, 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;
1 1 ? x ? ? 200 ? x ? ? 10000 f ? x ? ? x ? 200 ? x ? ? ? ? ? 3 3? 2 3 ?
2

当 20 ? x ? 200 时,



当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

所以,当 x ? 100 时,

f ? x? f ? x?

?20, 200? 上取得最大值 在区间 ?0,200? 上取得最大值 在区间

10000 3 .………………….12 分

综上,当 x ? 100 时,

10000 ? 3333. 3 ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为 3333 辆/小时………………………………………………………………...13 分 【思路点拨】(1) 根据题意,函数 v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数 v(x) 在 20≤x≤200 时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得;(2) 先在区 间(0,20]上,函数 f(x)为增函数,得最大值为 f(20)=1200,然后在区间[20,200]上 用基本不等式求出函数 f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相应的 x 值,两个 区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值.

【数学文卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 12.若 x, y ? R ,且 x ? 2 y ? 16 ,则 xy 的最大值为. 【知识点】基本不等式 E6

1 1 ? x ? 2y ? 1 xy ? x ? ? 2 y ? ? ? ? ? ? 64 ? 32 2 2? 2 ? 2 【答案】 【解析】 32 解析: . 1 1 ? x ? 2y ? xy ? x ? ? 2 y ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? 即可求解. 【思路点拨】由基本不等式 a ? b ? 2 ab ,以及
2

2

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】11.若 a, b, c 均为单位

a ?b ? ?
向量, A. 2 B.

1 2 , c ? x a ? yb ( x, y ? R) ,则 x ? y 的最大值是()

3 C. 2 D. 1

【知识点】平面向量的数量积基本不等式 F3 E6 【 答 案 】【 解 析 】 A 解 析 : 因 为 a, b, c 均 为 单 位 向 量 , 所 以

c ? 2 x a? 2
2

2

2

x. y ? a2 b

2

? y2 b ?

2 x? 1x? y, y
2


2







x? y? ? x ? y ? ? 1 ? ?2 ? x ? y ? 2 ? x ? y ? ? 3xy ? 1 ? ? x ? y ? ?1 ? 3xy ? 3 ? ? ? ? 2 ? ,即 4 ,所
2

以 x ? y 的最大值是 2,故选择 A. 【思路点拨】将向量 c 进行平方,根据 a, b, c 均为单位向量,可得 x ? xy ? y ? 1 ,在根据基
2 2

x? y? ? x ? y ? ?1 ? 3xy ? 3 ? ? ? ? 2 ? ,即可得 x ? y 的最大值是 2. 本不等式求得
2

2

E7 不等式的证明方法 【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】22. (原创) (本小题满分 12 分)
2 an (an ? 3) a ?1 an ?1 ? , a1 ? 2, bn ? n 2 ?a ? 3an ? 1 an ? 1 已知数列 n 满足:

?b ? (1)求 n 的通项公式;

(2)求证:

b1 ? b2 ? ... ? bn ?

241 648 .
E7

【知识点】已知递推公式求通项;放缩法证明不等式. D1

1 n?1 ( )3 【答案】 【解析】 (1) 3 ; (2)证明:见解析.

an ?1
解析: (1)

? a ? 1? ?1 ? n

3

2 3an ?1

, an ?1

? a ? 1? ?1 ? n

3

2 3an ?1 ,

a ? 1 ? an ? 1? ? n ?1 ? , an ?1 ? 1 ? an ? 1?3
3



3 bn ?1 ? bn ,

a1 ? 2

,则

b1 ?

1 1 bn ? 0,? ln bn ?1 ? 3ln bn ,??ln bn ? 为等比,首项 ln b1 = ln , 公比为3 3, 3 ,

1 1 n?1 ? ln bn ? 3n ?1 ln ,? bn ? ( )3 3 3
3 ( 2 ) 当 n?3 时 ,
n ?1 1 1 2 2 n?1 n?1 ? (1 ? 2)n ?1 ? Cn0?1 ? Cn ? 2n ?1 2 ? Cn ?1 2 ? ... ? ?Cn ?1 2



1 ?1? ? bn ? ( ) 2 n ? ? ? (n ? 3) 3 ?9?

n



? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ?

1 1 ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 3 27 ? 9 ? ? 9 ? ?9?

3

4

n

1 1 ( )3 ? ( ) n ?1 9 9 ? 1 1 1 1? ? 9 = 3 27 +

1 ( )3 1 1 241 ? ? ? 9 ? 3 27 1 ? 1 648 9 ,当 n ? 2 时,显然成立。
【思路点拨】(1)首先寻找数列

?bn ? 相邻两项的关系,得 bn?1 ? bn3 ,两边取自然对数,得数列
1
3n?1

?ln bn ? 是等比数列,从而求得 bn ? ( 3 )
式定理得:

; (2)采用放缩法证明不等式,当 n ? 3 时,由二项

0 1 1 2 2 n ?1 n ?1 3n ?1 ? (1 ? 2) n ?1 ? Cn ? 2n , ?1 ? Cn ?1 2 ? Cn ?1 2 ? ... ? ? Cn ?1 2

1 ?1? ? bn ? ( ) 2 n ? ? ? (n ? 3) b ? b2 ? ... ? bn 得 n ? 3 时不等式成立,再检验 n ? 2 时不 3 ?9? ,代入 1
等式也成立即可. 【典例剖析】本题第一小题,已知递推公式求通项,是典型的考题.这种题的常用解法是:构 造新数列, 但寻找新数列相邻两项的关系较困难.本考题得到 构造出一个新的等比数列
3 bn ?1 ? bn 后, 采用两边取对数法,

n

?ln bn ? ,从而求得数列 ?bn ? 的通项公式.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 22. (本 题满分 14 分)给定函数 f ( x ) 和常数 a , b ,若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数

f ( x) 的一个“好数对” ;若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x ) 的一个“类好
数对” .已知函数 f ( x ) 的定义域为 [1, ??) . (Ⅰ)若 (1,1) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且 f (1) ? 3 ,求 f (16) ;
2 (Ⅱ)若 (2, 0) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x ,求证:

函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; (Ⅲ) 若 (2, ?2) 是函数 f ( x ) 的一个 “类好数对” ,f (1) ? 3 , 且函数 f ( x ) 单调递增, 比较 f ( x )

x ?2 与2 的大小,并说明理由.
【知识点】函数的单调性函数与方程不等式的证明 B9 B3 E7

【答案】 【解析】 (Ⅰ)7; (Ⅱ)略; (Ⅲ)

f ? x? ?

x ?2 2
n n ?1

【解析】 (Ⅰ)由题意, f (2 x) ? f ( x) ? 1 ,且 f (1) ? 3 ,则 f (2 ) ? f (2
n

) ?1

则数列

? f (2 )? 成等差数列,公差为 d ? 1 ,首项 f (1) ? 3 ,于是 f (16) ? 7
n n ?1

(Ⅱ)当 2 ? x ? 2

1?
时,

x ?2 2n ,则由题意得

x x f ( x) ? 2 f ( ) ? 22 f ( 2 )= 2 2

=2n f (

x 2x x ) ? 2n n ? ( n ) 2 ? 2n?1 x ? x 2 n 2 2 2

n?1 2 n 由 f ( x) ? x ? 0 得, 2 x ? x ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 2 均不符合条件
n n ?1 即当 2 ? x ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;

注意到 (1, ??) ? (1, 2]

(2, 22 ]

(2n , 2n?1 ]

故函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; ( Ⅲ ) 由 题 意 得

f ? 2 ?x? 2 ? f? ? x 2
2 ? ?

, 则 ,

f ? 2n ? ? f 2?

n ?1

2 ??

, 即 得

2

f ? 2n ? ? ? 2 ? ? f2? f ? 2n ? ? ? ? ?
f ? 2n ? ? f ?2
n ?1 n

n ?1

2 ??

? ? ?? ?

?

?1

??
2

? 2 ? ?f ? ??
?
*

n

?

? ?
n ?1

? ??
2

?? ?2





f

n 2

2

? 2

,而对任意 x > 1, 必存在 n ? N ,使得 2
n

? x ? 2n , 由 f(x) 单调递增得

? ? f ? x? ? f ?2 ?
x ?2 2 .

, 则

f ? x ? ? f ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 ? 2 ?

2n x ?2? ?2 2 2 , 所 以

f ? x? ?

【思路点拨】对于新定义函数,理解其含义是解题的关键,再多步问答问题中,解下一问时 注意上一问的结论或过程的应用.

E8 不等式的综合应用

【数学理卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】14.存 在 x ? 0 使得不等式 x2 ? 2

? x ?t

成立,则实数 t 的取值范围是。

【知识点】不等式的综合应用 E8

9 【答案】- 4 <t<2
【解析】不等式 x2<2-|x-t|,即|x-t|<2-x2, 令 y1=|x-t|,y1 的图象是关于 x=t 对称的一个 V 字形图形,其象位于第一、二象限; y2=2-x2,是一个开口向下,关于 y 轴对称,最大值为 2 的抛物线; 要存在 x<0,使不等式|x-t|<2-x2 成立,则 y1 的图象应该在第二象限和 y2 的图象有交点, 两种临界情况, ①当 t≤0 时, y1 的右半部分和 y2 在第二象限相切: y1 的右半部分即 y1=x-t, 联列方程 y=x-t,y=2-x2,只有一个解;

9 9 即 x-t=2-x2,即 x2+x-t-2=0,△=1+4t+8=0,得:t=- 4 ;此时 y1 恒大于等于 y2,所以 t=- 4 9 取不到;所以- 4 <t≤0;②当 t>0 时,要使 y1 和 y2 在第二象限有交点,
即 y1 的左半部分和 y2 的交点的位于第二象限;无需联列方程,只要 y1 与 y 轴的交点小于 2 即可; y1=t-x 与 y 轴的交点为(0,t) ,所以 t<2,又因为 t>0,所以 0<t<2;

9 综上,实数 t 的取值范围是:- 4 <t<2;
【思路点拨】 本题利用纯代数讨论是很繁琐的, 要用数形结合. 原不等式 x2<2-|x-t|, 即|x-t| <2-x2,分别画出函数 y1=|x-t|,y2=2-x2,这个很明确,是一个开口向下,关于 y 轴对称, 最大值为 2 的抛物线;要存在 x<0 使不等式|x-t|<2-x2 成立,则 y1 的图象应该在第二象限 (x<0)和 y2 的图象有交点,再分两种临界讲座情况,当 t≤0 时,y1 的右半部分和 y2 在第 二象限相切;当 t>0 时,要使 y1 和 y2 在第二象限有交点,最后综上得出实数 t 的取值范围.

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】20. (本题满

2 m?2 g ?x ? ? ? ln x f ?x ? ? mx ? ? ln x x x 分 12 分)已知函数 , ,
⑴求函数 的极值;⑵若 在

. 的取值范围.

上为单调函数,求 E8

【知识点】导数的应用;不等式恒成立问题. B12 【答案】 【解析】 (1)

g ? x ?极小值 ? g ?2 ? ? 1 ? ln 2

,无极大值; (2)

.

? g ??x ? ? ?
解析: (1)

2 x
2

?

1 x?2 ? 2 x x

? ? 令 g ? x ? ? 0 得: x ? 2 ;令 g ? x ? ? 0 得: x ? 2 ? ?? 又因为 g ? x ? 的定义域为 ?0,
故 g ? x ? 在 ?0,2 ? 上单调递减,在 ?2,?? ? 上单调递增 故

g ? x ?极小值 ? g ?2 ? ? 1 ? ln 2 ,无极大值。

(2)∵ 在 上为单调函数, 或者 mx ? 2 x ? m ? 0 在
2

恒成立

等价于







等价于





恒成立,

而 综上, 的取值范围是



? ??, 0? ?1, ?? ? .

【思路点拨】 (1)先求定义域上导函数为零的根,再判断此根两侧导函数值的符号,由此得

?1, ?? ? 上为单调函数,则在 ?1, ? ? 上 h? ? x? ? 0 或 函数的极值情况; (2)h(x)= f ( x) ? g ( x) 在
h? ? x ? ? 0
恒成立,在采用分离常数法求 m 范围.

【数学文卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】

(?1) n a ? 2 ?
9.若不等式

(?1) n ?1 n 对于任意正整数 n 都成立,则实数 a 的取值范围是()

3 3 3 3 [?2,) ( ? 2,) [?3,) ( ? 3,) 2 2 C. 2 2 A. B. D.

【知识点】不等式的综合 E8

(?1) n a ? 2 ?
【答案】 【解析】A 解析:当 n 是奇数时,由题设

(?1) n ?1 n 对于任意正整数 n 恒成

?a ? 2 ?
立,得对于任意正整数 n 有

1 n 恒成立,解得 ? a ? 2 -,即 a ? ?2 .

a ? 2?
当 n 是偶数时,

1 1 3 a ? 2? a? n 对于任意正整数 n 恒成立,故 2即 2.

3 [?2,) 2 .故选 A. 所以实数 a 的取值范围是
【思路点拨】根据 n 是奇数与偶数分为两类,将 a 分离出来,分别解出两种情况下的参数的 取值范围,取其交集即得实数 a 的取值范围

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 唐 山 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 8. 已 知 函 数

f ( x) ? a x ?1 ? 3 ? a ? 0, a ? 1? 的图象过定点 P,且点 P 在直线 mx ? ny ?1 ? 0? m ? 0, n ? 0?
1 4 ? 上,则 m n 的最小值是 (
A.12 B.16 C.25 D.24 【知识点】基本不等式 E8 【答案】 【解析】 C 解析: 函数 f ( x) ? a
x ?1

)

? 3 恒过的定点为 ?1, 4 ? , m ? 4n ? 1 , 代入直线方程为:

1 4 ? 1 4? ? 4m 4 n ? ? ? ? m ? 4n ? . ? ? ? ? 17 ? ? ? ? ? 17 ? 2 16 ? 25 m n m n n m? ? ? ? 所以 ,
4m 4n ? m 即 m ? n 时,等号成立,故选择 C. 当且仅当 n
【思路点拨】根据指数函数 y ? a 恒过
x

? 0,1? ,可得函数 f ( x) ? a x?1 ? 3 恒过的定点为 ?1, 4? ,

1 4 ? 1 4? ? ? ? m ? 4n ? . ? ? ? ? m n ? ,在利用基本不等式求得. 代入直线方程为:m ? 4n ? 1 ,所求为 m n

E9 单元综合




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