当前位置: 首页 > >

2017版高中数学选修2-3同步导学案(23份) 北师大版17(新教案)

*§ 正态分布
连续型随机变量 正态分布

.了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数.(难点) .认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.(重点)

[基础·初探] 教材整理 正态分布 阅读教材~,完成下列问题. .正态分布 ()在频率分布直方图中,为了了解得更多,图中的区间会分得更细,如果将区间无限细 分,最终得到一条曲线,这条曲线称为随机变量的,这条曲线对应的函数称为的. ()若随机变量的分布密度函数为()=,其中 μ 与 σ 分别是随机变量的与,则称服从参 数 μ 和 σ 的正态分布,记作~(μ ,σ ).

【答案】 ()分布密度曲线 分布密度函数 ()· .正态曲线的性质 ()函数图像关于直线对称; ()σ (σ >)的大小决定函数图像的; ()(μ -σ <<μ +σ )=; (μ -σ <<μ +σ )=; (μ -σ <<μ +σ )=. 【答案】 ()=μ ()胖、瘦 ()

均值 标准差

.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) ()正态变量函数表达式中参数 μ ,σ 的意义分别是样本的均值与方差.( )

()服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( ) ()正态曲线是一条钟形曲线.( ) ()离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用 分布列描述.( ) 【解析】 ()× 因为正态分布变量函数表述式中参数 μ 是随机变量取值的平均水平 的特征数,可以用样本的均值去估计,而 σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数,用样 本的标准差去估计. ()√ 因为离散型随机变量最多取可列个不同值.而连续型随机变量可能取某个区间上 的任何值. ()√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确. ()× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,连续型随机变量的概率分布 规律用分布密度曲线(函数)描述. 【答案】 ()× ()√ ()√ ()× .若~(),则(>)=. 【解析】 由~()知,正态曲线关于直线=对称,故(>)=. 【答案】
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问: 解惑: 疑问: 解惑: 疑问: 解惑:

[小组合作型] 正态曲线及其性质

()如图??,曲线:()=

(∈),曲线:φ ()=

(∈),则( )

图?? .μ <μ .曲线与轴相交 .σ >σ .曲线,分别与轴所夹的面积相等 ()如图??是三个正态分布~(),~(),~()的密度曲线,则三个随机变量,,对应的曲 线分别是图中的,,.(填写序号)
图?? ()如图??所示是一个正态曲线,试根据该图像写出其正态分布密度曲线的函数解析式, 则总体随机变量的均值为,方差为.

图?? 【精彩点拨】 着眼点:()方差的大小;()正态曲线的特征及意义;()参数的几何意义. 【自主解答】 ()由曲线,对称轴的位置知,μ >μ ,由曲线瘦于知 σ <σ ,由()> 知,曲线在轴上方,故选. ()由<<,得,,对应的曲线分别是图中的①②③. ()从正态曲线的图像可知,该正态曲线关于直线=对称,最大值为,所以 μ =,=, 解得 σ =. 于是,正态分布密度曲线的函数解析式为:

φ μ ,σ ()=·

,∈(-∞,+∞).

总体随机变量的均值是 μ =,方差是 σ =()=. 【答案】 () ()①②③ ()

利用正态曲线的性质可以求参数 μ ,σ ,具体方法如下: 正态曲线是单峰的,它关于直线=μ 对称,由此性质结合图像求 μ ; 正态曲线在=μ 处达到峰值,由此性质结合图像可求 σ .

[再练一题] .设随机变量服从正态分布,且相应的概率密度函数为()=

,则( )
.μ =,σ = .μ =,σ =

.μ =,σ = .μ =,σ =

【导学号:】

【解析】 由()= 【答案】

,得 μ =,σ =.

服从正态分布变量的概率问题

()已知随机变量 ξ 服从正态分布(,σ ),且(ξ <)=,则(<ξ <)=( )









()在某项测量中,测量结果服从正态分布(),求正态总体在(-)内取值的概率.

【精彩点拨】 ()根据正态曲线的对称性性质进行求解;()题可先求出在(-)内取值的

概率,然后由正态曲线关于=对称知,在(-)内取值的概率就等于在(-)内取值的概率的一

半.

【自主解答】 ()∵随机变量服从正态分布(,σ ), ∴μ =,对称轴是=.∵(ξ <)=, ∴(ξ ≥)=(ξ <)=, ∴(<ξ <)=,∴(<ξ <)=.故选. 【答案】

()由题意得 μ =,σ =, 所以(-<≤)=(-<≤+)= .

又因为正态曲线关于=对称,

所以(-<<)=(<<)=(-<<)= .
.求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性,把待求区间的概率转化到已 知区间的概率.
.常用结论有: ()对任意的,有(<μ -)=(>μ +); ()(<)=-(≥); ()(<<)=(<)-(≤).
[再练一题] .若 η ~(),求(<η <). 【解】∵η ~(),∴正态分布密度函数的两个参数为 μ =,σ =. ∵该正态曲线关于=对称, ∴(<η <)=×(<η <)=×=.
[探究共研型] 正态分布的实际应用
探究 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径 ε ~(),那么该圆柱形零件外直径的均值, 标准差分别是什么?
【提示】 零件外直径的均值为 μ =,标准差 σ =. 探究 某工厂生产的圆柱形零件的外直径 ε ~(),若零件的外直径在(]内的为一等 品.试问 件这种零件中约有多少件一等品? 【提示】 (<ε ≤)=(μ -σ <ε <μ +σ )= ,所以 件产品中大约有 × =(件)一等 品. 探究 某厂生产的圆柱形零件的外直径 ε ~(,).质检人员从该厂生产的 件这种零件 中随机抽查一件,测得它的外直径为 .试问该厂生产的这批零件是否合格? 【提示】 由于圆柱形零件的外直径 ε ~(), 由正态分布的特征可知,正态分布()在区间(-×+×), 即()之外取值的概率只有,而∈(). 这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,根据统计中假设检验的基 本思想,认为该厂这批零件是不合格的.
设在一次数学考试中,某班学生的分数~(),且知试卷满分分,这个班的学生 共人.求这个班在这次数学考试中及格(不低于分)的人数和分以上的人数.

【精彩点拨】 要求及格的人数,即要求出(≤≤),而求此概率需将问题化为正态分布 中几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解.
【自主解答】∵~(), ∴μ =,σ =,(-<<+)=. ∴>的概率为:×(-)= ; ≥的概率为:+ = . ∴及格的人数为× ≈人, 分以上的人数为× ≈人.
解此类问题一定要灵活把握 μ -σ <ξ ≤μ +σ , μ -σ <ξ ≤μ +σ , μ -σ <ξ ≤μ +σ 进行转化,然后利用特定值求出相应概率.同时要充分利用曲线的对称 性和曲线与轴之间的面积为这一特殊性质.
[再练一题] .在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从一个正态分布,即 ξ ~(). ()试求考试成绩 ξ 位于区间()上的概率是多少. ()若这次考试共有 名考生,试估计考试成绩在()间的考生大约有多少人. 【解】∵ξ ~(),∴μ =,σ ==. ()由于正态变量在区间(μ -σ ,μ +σ )内取值的概率是,而该正态分布中,μ -σ = -×=,μ +σ =+×=,于是考试成绩 ξ 位于区间()内的概率就是. ()由 μ =,σ =,得 μ -σ =,μ +σ =, 由于正态变量在区间(μ -σ ,μ +σ )内取值的概率是.一共有 名考生,所以考试成绩 在()间的考生大约有 ×= (人).
[构建·体系]

.正态分布密度函数为 φ μ ,σ ()= 分别是( )

,∈(-∞,+∞),则总体的平均数和标准差

.和

.和

.和

.和

【解析】 由条件可知 μ =,σ =.

【答案】

.如图??是当 ξ 取三个不同值 ξ ,ξ ,ξ 的三种正态曲线(,σ )的图象,那么 σ ,σ ,

σ 的大小关系是( )

.σ >>σ >σ > .<σ <σ <<σ .σ >σ >>σ > .<σ <σ =<σ

图??

【解析】 当 μ =,σ =时,正态曲线()= .在=时,取最大值,故 σ =.由正态 曲线的性质,当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越小,曲线越“瘦高”;σ 越大, 曲线越“矮胖”,于是有<σ <σ =<σ .
【答案】 .若随机变量~(μ ,σ ),则(≤μ )=. 【解析】 由于随机变量~(μ ,σ ),其正态密度曲线关于直线=μ 对称,故(≤μ ) =. 【答案】 .已知随机变量服从正态分布(,σ ),且(<)=,则(≤)=. 【导学号:】 【解析】 由~(,σ ),可知其正态曲线如图所示,对称轴为=,则 (≤)=(≥)=- (<)=-=.

【答案】 .一批灯泡的使用时间(单位:小时)服从正态分布( ),求这批灯泡中“使用时间超过 小 时”的概率. 【解】 依题意得 μ =,σ =. ∴(-<<+)=(μ -σ <<μ +σ )=.

由正态分布性质知(<-)=(>+). 故(> )+(-<<+)=, ∴(> )==, 故使用时间超过 小时的概率为.

() () 我的课下提升方案: () ()

我还有这些不足:

学业分层测评

(建议用时:分钟)

[学业达标]

一、选择题

.设随机变量 ξ ~(),则=( )







【解析】∵ξ ~(),∴ξ =.

∴=ξ =×=.

【答案】

.下列函数是正态密度函数的是( )

.()= .()= .()=

,μ ,σ (σ >)都是实数

.()=

【解析】 对于,函数的系数部分的二次根式包含 σ ,而且指数部分的符号是正的,

故错误;对于,符合正态密度函数的解析式,其中 σ =,μ =,故正确;对于,从系数部

分看 σ =,可是从指数部分看 σ =,故不正确;对于,指数部分缺少一个负号,故不正确.

【答案】

.已知随机变量服从正态分布(),且(≤≤)= ,则(>)等于( )









【解析】 由于服从正态分布(),

故正态分布曲线的对称轴为=,

所以(>)=(<),

故(>)== .

【答案】

.某厂生产的零件外直径~( ),单位:,今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一

个,测得其外直径分别为和,则可认为( )

.上、下午生产情况均为正常

.上、下午生产情况均为异常

.上午生产情况正常,下午生产情况异常

.上午生产情况异常,下午生产情况正常

【解析】 根据 σ 原则,在(-×+×]即(]之外时为异常.结合已知可知上午生产情

况正常,下午生产情况异常.

【答案】

.如果随机变量~(μ ,σ ),且=,=,则(<<)等于( )









【解析】 由=μ =,=σ =,

∴~(),

∴(μ -σ <<μ +σ )=(<<)=;

(μ -σ <<μ +σ )=(<<)=,

(<<)-(<<)=(<<)=.

∴(<<)= .

【答案】

二、填空题

.已知正态分布落在区间(,+∞)内的概率为,那么相应的正态曲线()在=时达到最高

点.

【解析】 由正态曲线关于直线=μ 对称且在=μ 处达到峰值和其落在区间(,+∞)

内的概率为,得 μ =.

【答案】

.已知正态分布总体的数据落在区间(-,-)内的概率和落在区间()内的概率相等,那

么这个正态总体的均值为.

【解析】 区间(-,-)和区间()关于直线=对称,所以均值 μ 为.

【答案】

.(·哈尔滨高二检测)如果随机变量 ξ ~(-,σ ),且(-<ξ ≤-)=,则(ξ ≥)=.

【解析】 (ξ ≥)=(ξ ≤-)=-(-<ξ ≤-)=-=.

【答案】

三、解答题

.在一次测试中,测量结果服从正态分布(,σ )(σ >),若在(]内取值的概率为,求:

()在(]内取值的概率;

()(>).

【解】 ()由于~(,σ ),对称轴=,画出示意图如图.

因为(<≤)=(<≤),所以(<≤)=(<≤)=×=.

()(>)=[-(<≤)]=(-)=.

.一建筑工地所需要的钢筋的长度~(),质检员在检查一大

批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于米,这时,他是让钢筋

工继续用切割机截钢筋呢,还是停下来检修切割机?

【解】 由于~(),根据正态分布的性质可知,正态分布在(-×+×)之外的取值概率

仅为,长度小于米的钢筋不在()内,所以质检员应让钢筋工马上停止切割,并对切割机进行

检修.

[能力提升]

.设随机变量 ξ 服从正态分布(),若(ξ >+)=(ξ <-),则等于

()









【解析】∵ξ ~(),

∴(ξ >+)=(ξ <-).

又∵(ξ >+)=(ξ <-),∴-=-,∴=.

【答案】

.已知一次考试共有名学生参加,考生的成绩~(,),据此估计,大约应有人的分数在

下列哪个区间内( ) 【导学号:】

.()

.()

.()

.()

【解析】 (<<)=(-×<<+×)=,

又×=≈.

故选.

【答案】

.已知正态分布(μ ,σ )的密度曲线是()=

,∈.给出以下四个命题:

①对任意∈,(μ +)=(μ -)成立;

②如果随机变量服从(μ ,σ ),且()=(<),那么()是上的增函数;

③如果随机变量服从(),那么的期望是,标准差是;

④随机变量服从(μ ,σ ),(<)=,(>)=,则(<<)=-.

其中,真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)

【解析】 画出正态分布(μ ,σ )的密度曲线如图:

由图可得:

①图象关于=μ 对称,故①正确; ②随着的增加,()=(ξ <)也随着增加,故②正确; ③如果随机变量 ξ 服从(),那么 ξ 的期望是,标准差是; ④由图象的对称性,可得④正确.故填①②④. 【答案】①②④ .从某企业生产的某种产品中抽取件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得 如下频率分布直方图:

图?? ()求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表); ()由直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布(μ ,σ ),其中 μ 近似为 样本平均数,σ 近似为样本方差. ①利用该正态分布,求(<<); ②某用户从该企业购买了件这种产品,记表示这件产品中质量指标值位于区间()的产品 件数,利用①的结果,求. 附:≈. 若~(μ ,σ ),则(μ -σ <<μ +σ )=,(μ -σ <<μ +σ )=. 【解】 ()抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 =×+×+×+×+×+×+×=, =(-)×+(-)×+(-)×+×+×+×+×=. ()①由()知,~(),从而(<<)=(-<<+)=. ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间()的概率为,依题意知~(),所以=×=.
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功 的。 快乐学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和 坚持会撑起你的整个世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者 千虑,必有一得,学习必须与实干相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不 畏困难强敌;热情,就是时刻提醒你,终点就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。



相关推荐


友情链接: hackchn文档网 营销文档网 爱linux网 爱行业网 时尚网