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2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的图象与性质导学案新人教A版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学第一章三角函数 1.4.3 正切函数的图象与性质导学案新 人教 A 版必修 4
【学习目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象. 2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质. 3.掌握正切函数的基本性质. 【学习重点】正切函数图像与性质 【基础知识】正切函数图像: 1.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数 y ? tan x 图象: 2.把上述图象向左、右扩展,得到正 切函数 y ? tan x 线”

x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲

正切函数性质: 1.定义域: ? x | x ? k? ? 2.值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于 k? ? 3.周期性: T ? ? .

? ?

?

? , k ? z? , 2 ?

?

?

2

?k ? z ?,

x? ?? k? ?

?
2

?? ? 时 , tan x ?

2

? k? ? ? k ? z ? , x ??

?

2

?? ?? . 时, tan x ?

?x ? ? ) 的周期为 T ? 结 论: y ? tan(

? |? |

4.奇偶性: tan?? x ? ? ? tan x 奇函数. 5.单调性:在开区间 ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
0

? k ? z 内, 函数单调递增. 2?
0

【例题讲解】例 1.(1)比较 tan167 与 tan173 的大小; (2)比较 tan? ?

? 17? ? ? 13? ? ? 的大小. ? 与 tan? ? ? 4 ? ? 5 ?

例 2 讨论函数 y ? tan? x ?

? ?

??

? 的性质. 4?

例 3 求下列函数的单调区间: y ? 3tan( 1 x ? ? ). 2 4

变式训练 1:求函数 y ? 3 tan(?

x ? ? ) 的单调区间. 2 4

例 4 求下列函数的周期:

y ? 3 tan(2 x ?

?
4

).

变式训练 2:求解 y ? 3 tan(

1 ? x ? )的周期. 2 4

例5

求函数 y=tan ? 3x ?

? ?

??

? 的定义域、值域,并指出它的奇偶性、单调性以及周期. 3?

【达标检测】1. 函数 y ? 2 tan( 3 x ? (A)

?
4

) 的周期是
(C) (

(

) (D)

2? 3

(B)

2.函数 y ? tan( (A) {x | x ? (C)

?
4

? 2

? 3
)

? 6

? x) 的定义域为

?
4

, x ? R}

(B) {x | x ? ?

?
4

, x ? R} 3? , x ? R, k ? Z } 4

{x | x ? k? ?

?
4

, x ? R, k ? Z } (D) {x | x ? k? ?

3.下列函数中,同时 满足(1)在(0, (A) y ? tan x

? )上递 增,(2)以 2 ? 为周期,(3)是奇 函数的是( 2
(C) y ? tan 1 2 x (D) y ? ? tan x

)

(B) y ? cos x

4.tan1,tan2,tan3 的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题: (1)函数 y =sin|x|不是周期函数; (3)函数 y=tanx 在定义域内是增函数; (2)函数 y=|cos2 x+1/2|的周期是π /2; (4)函数 y=sin(5π /2+x)是偶函数;

(5)函数 y=tan(2x+π /6)图象的一个对称中心为(π /6,0) 其中正确命题的序号是_________ ______(注:把 你认为正确命题的序号全填上) 6.求函数 y=lg(1-tanx)的定义域

【问题与收获】

参考答案 例 1.解:(1)∵90 <167 <173 <18 0 ,而 y=tanx 在 90 ~180 上单调增函数, ∴tan167 <tan173 (2)? tan? ?
0 0 0 0 0 0 0 0

? ? 13? ? ? 17? ? ? ? tan , tan? ? 4 ? 4 ? ? 5

2? ? ? ? ? tan , 5 ?

又: 0 ?

?
4

?

2? ? ? ?? ? , y ? tan x在 ? 0, ? 内单调递增, 5 2 ? 2?
2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? ?

? tan

?
4

? tan

例2

略解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ?

?

? , k ? z? ; 4 ? 3? ?? , k? ? ? 上是增函数; 4 4?

值域:

R ;

它是非奇非偶函数;在 ? k? ?

? ?

令 f(x)=tan(x+

? ? ? ? )=tan(x+ + ? )=tan [(x+ ? )+ ]=f(x+ ) 4 4 4 4
1 ? x ? , 那么y ? 3tan u. 2 4

因此,函数 f(x)的周期是 ? . 例3 解: 令u ?

u?

1 ? x ? 是增函 数, 2 4
2 2

且y ? tan u的 递增区间为 u ? (k? ? ? , k? ? ? ), k ? Z

?由u ?

1 ? ? 1 ? ? x ? 得 : k? ? ? x ? ? k ? ? 2 4 2 2 4 2



1 ? 3? ? ? y ? 3 tan( x ? )的 单调递增区间是: ( 2 k? ? , 2k? ? )k ? Z . 2 4 2 2
变式训练 1:解:因为原 函数可以化为:

y ? ?3 tan(

?

? ); 2 4

?

令u ?

x ? ? , 所以y ? tan u的 单调递增区间为: u ? (k? ? ? , k? ? ? ), k ? Z 2 4 2 2

?由u ?

1 ? ? 1 ? ? 1 ? x ? 得 : k? ? ? x ? ? k? ? . ? y ? 3 tan(? x ? )的 2 4 2 2 4 2 2 4
?
2 , 2 k? ? 3? )k ? Z . 2

单调递减区间为 (2k? ?

例4

解:

? ? ? ? ? f ( x) ? 3 tan(2 x ? ) ? 3 tan(2 x ? ? ? ) ? 3 tan[2( x ? ) ? ] ? f ( x ? ), 4 4 2 4 2

?周期T ?

?
2

.

变式训练 2: 解:

1 ? 1 ? f ( x) ? 3 tan( x ? ) ? 3 tan( 1 x ? ? ? ? ) ? 3 tan[ ( x ? 2? ) ? ] ? f ( x ? 2? ), 2 4 2 4 2 4

?周期T ? 2? .
( 周期T

?

? ) |? |
? ? ,则 y=tanu,由 u≠ k? ? 2 3
k ? Z 可得:

例 5 解:令 u=3x-

x?

k? 5? k? 5? ? ? ? (k ? Z ) ,即函数的定 义域是 ? x | x ? R,且x ? ? ,k ? Z ? , 3 18 3 18 ? ?

y=tanu 的值域为 R,因此 y=tan ? 3x ? 存在 x=

? ?

??

? 的值域 为 R . 3?

? ? ? ? ? ? 和 x=- ,使 tan(3· - )≠±tan[3·(- )- ], 9 9 9 3 9 3
? ?

所以,y=tan ? 3x ? 由 k? ?

??

? 是非奇非偶函数. 3?

?
2

? u ? k? ?

?
2

, 可以得到

k? ? k? 5? ? ?x? ? (k ? Z ) , 3 18 3 18

∴y=tan ? 3x ?

? ?

??

k? ? k? 5? ? 在 ( 3 ? 18 , 3 ? 18 )(k ? Z ) 上是增函数. 3?

令 f(x)=y= tan ? 3x ?

? ?

??

? ? ? ? ? ? ? =tan ? 3x ? ? ? ? =tan[3(x+ 3 )- 3 ]=f(x+ 3 ), 3? 3 ? ?

∵f(x)=f(x+ 拓展训练: 1.C 2.D 6. ? x ?

? ? ?? ? ),∴函数 f (x)=y= tan ? 3x ? ? 的周期是 . 3 3 3? ?

3.C

4. tan2<tan3<t an1

5.(1)(4)(5)

? ?

?
2

? k? ? x ?

?

? ? k? , k ? Z ? 4 ?




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